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En matemáticas, dado un grupo G con una operación binaria *, decimos que un cierto subconjunto H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. más exactamente, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H es una operación de grupo en H.

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ? G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo.

En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

[editar] Características básicas de subgrupos

• H es un subgrupo del grupo G si y solamente si es no vacío y cerrado bajo producto e inverso. (las condiciones de clausura significan lo siguiente: siempre que a y b estén en H, entonces ab y a^-1 están también en H. Estas dos condiciones se pueden combinar en una condición equivalente: siempre que a y b estén en H, entonces ab^-1 está también en H.) En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la clausura bajo inverso se sigue automáticamente en ese caso.

• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad e_G, y H es un subgrupo de G con la identidad e_H, entonces e_H = e_G.

• El inverso de un elemento en un subgrupo es el inverso del elemento en el grupo: si H es un subgrupo de un grupo G, y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e_H, entonces ab = ba = e _G.

• Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo que contiene S; es denotado por <S> y se dice que es el subgrupo generado por S. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.

• Cada elemento a de un grupo G genera el subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para un cierto número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual aⁿ = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.

• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman un reticulado completo bajo inclusión. (mientras que el ínfimo aquí es la intersección conjuntista, el supremo de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generado por la unión conjuntista de los subgrupos, no la unión conjuntista solamente.) Si e es la identidad de G, entonces el grupo trivial {e} es el subgrupo mínimo de G, mientras que el subgrupo máximo es el grupo G mismo.M

[editar] Clases y Teorema de Lagrange

Dado un subgrupo H y algún , definimos la clase izquierda . Porque a es inversible, la función dada por es una biyección. Además, cada elemento de G está contenido en exactamente una clase izquierda de H; las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a₁ ~ a₂ ssi a ₁^-1 a₂ está en H. El número de clases izquierdas de H se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

[G:H]|H|=|G|

donde|G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces el cardinalidad de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G) debe ser un divisor de |G|.

Las clases derechas se definen análogamente: Ha = {ha: h en H}. Son también las clases de equivalencia para una relación de equivalencia conveniente y su número es igual a [G: H].

Si aH = Ha para cada a en G, entonces H se dice un subgrupo normal.