Modelo matemático
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En ciencias aplicadas un “Modelo matemático” es uno de los tipos de modelos científicos, y se basa en expresar utilizando los instrumentos de la teoría matemática, declaraciones, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos o de contenidos simbólicos: están implicadas variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Se podría decir también que es una traducción de la realidad física para poder aplicar los instrumentos y técnicas de las teorías matemáticas para estudiar el comportamiento de sistemas complejos, y posteriormente hacer el camino inverso para traducir los resultados numéricos a la realidad física. Generalmente se introducen simplificaciones de realidad.
El significado de “Modelo matemático” en matemáticas, sin embargo, es algo diferente. En concreto en matemáticas se trabajan con modelos formales. Un modelo formal para una cierta teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.
El termino de modelización matemática es utilizada también en diseño gráfico cuando se habla de modelos de los objetos en 2D o 3D.
Tabla de contenidos |
[editar] Clasificaciones de Modelos
Los modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera.
[editar] Determinista
Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Ademàs, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.
[editar] Estocástico
Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.
[editar] Tipos de modelos en función del origen de la información utilizada para construirlos
Dependiendo de la fuente de información utilizada para la construcción de un modelo podemos distinguir entre modelos heurísticos y modelos empíricos:
[editar] Modelos heurísticos
Del griego euriskein, hallar, inventar. Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
[editar] Modelos empíricos
Del griego empeiricos (experiencia, experimento) Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
[editar] Tipos de modelos en función de su campo de aplicación
Los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. A continuación veremos algunos tipos en los que se puede adecuar algún modelo matemático de interés.
[editar] Modelos conceptuales
Son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la naturaleza
[editar] Modelo matemático de optimización
Los modelos matemáticos de optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible.
La definición de cual de las múltiples opciones utilizar se hace con el auxilio de una función objetivo. La función objetivo generalmente tiene un carácter económico.
Los algoritmos matemáticos usados para optimizar funciones objetivo son, entre otros: la programación lineal, la programación dinámica.
[editar] Representación del modelo
La representación puede ser de la siguiente manera.
[editar] Conceptual
Por una descripción cualitativa bien organizada que permite la medición de sus factores.
[editar] Matemático
Se refiere a una representación numérica por aspectos lógicos y estructurados con aspectos de la ciencia matemática. Pueden ser números, letras, imágenes, símbolos. Por ejemplo si se refiere a un modelo gráfico de matemáticas, se observan imágenes y gráficas matemáticas, que representan a un modelo numérico y de ecuaciones, los cuales son expresiones visuales basadas en aspectos cuantificables y de la ciencia matemática.
[editar] Físico
Basado en aspectos de la ciencia física, de aquellos movimientos de los cuerpos, y que además es cuantificable. Estos modelos generalmente representan el fenómeno estudiado utilizando las mismas relaciones físicas del prototipo pero reduciendo su escala para hacerlo manejable. Por ejemplo pertenecen a este tipo de modelo las representaciones a escalas reducidas de presas hidráulicas, puertos, o de elementos de estas obras, como un vertedero o una escollera.
[editar] Categorías por su aplicación
Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.
[editar] Simulación
De situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación líneal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio.
[editar] Optimización
Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación.
[editar] Control
Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc.
[editar] Ejemplos
Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo las tablas de contingencia. De hecho los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.
Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático e interacción social en 1961 y Bugeda en Sociología matemática en 1970. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre un modelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinónimos.
[editar] Modelo matemático de simulación hidrológica
Se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la realidad, como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que se ha intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.
La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas desde el punto de vista: del tipo de suelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El número y tipo de las variables hidrológicas que intervienen en el modelo son función de objetivo específico para el cual se elabora el mismo.
Los modelos más conocidos asocian las variables hidrológicas a pequeños reservorios elementales que se van llenando en la medida que se produce la precipitación, la cual puede ser diferente en las varias partes de la cuenca.
Así, el fenómeno de la interceptación de las hojas de la vegetación, se considera como un reservorio elemental, que se va llenando, hasta que su capacidad, variable según el tipo de vegetación, es sobrepasada, y en ese momento el exceso de agua es vertido al reservorio elemental siguiente, descontándose la evapotranspiración y evaporación que corresponde al intervalo de tiempo del cálculo, comensandose a saturar la capa superficial de suelo, y así por delante hasta que se satura y comienza el escurrimiento superficial que llegara hasta los primeros arroyos.
El traslado del agua en la red de drenaje es simulada con elementos propios para tal finalidad.
La suma del volumen de agua almacenado en los reservatorios elementales se constituye en la disponibilidad hídrica de la cuenca.
Los modelos matemáticos de simulación de procesos hidráulicos, consisten generalmente en sistemas de ecuaciones diferenciales que describen el fenómeno hidráulico, generalmente en regímenes transitorios, que son resueltos por métodos numéricos con el auxilio de computadoras.
Los casos más típicos que deben ser analizados por estos modelos son:
- Comportamiento de estructuras complejas, como por ejemplo edificios de varios pisos, torres o puentes, a la acción sísmica;
- Comportamiento de una onda en un canal;
- Comportamiento de una estación de bombeo, o una central hidroeléctrica a la interrupción brusca del flujo.
[editar] Véase también
- Simulación
- Modelo
- Modelo científico
- Modelo climático
- Modelización
- Modelaje de acuíferos
- Introducción a la modelación [1]
- Ríos, Sixto (1995), Modelización, Alianza Universidad. ISBN 978-84-206-2822-6.