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Hélice (geometría)

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Toda curva cuyas tangentes forman un ángulo ?, constante, con una dirección fija del espacio recibe el nombre de hélice. Si su ecuación vectorial es $bar{R} = bar{R}(s)$ , siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario $bar{a}$ fijo tal que para todo s se verifica $bar{T}(s)bulletbar{a}=cos alpha$ (constante).

[editar] Teorema de Lancret

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret. Teorema Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique $frac{kappa}{tau}=cte$ , siendo tan? la constante. Donde $?$ es la curvatura y $?$ la torsión.

[editar] Hélices importantes

Hélice circular, o hélice cilíndrica. Hélice cónica y Hélice esférica.

[editar] Hélice cilíndrica

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Esto quiere decir que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada “paso de hélice”.

[editar] Expresión analítica

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones:

$x = rho cos theta ,$

$y = rho sin theta ,$

$z = tan alpha theta ,$

El paso de hélice (lo que “avanza” cuando la curva da una vuelta alrededor del cilindro) es:

$2pi tan alpha ,$

[editar] Propiedades

La proyección de la hélice sobre un plano paralelo al eje del cilindro es una curva sinusoidal.
La geodésica de un cilindro recto de base circular es un arco de hélice (es decir, el camino más corto entre dos puntos situados en la superficie de un cilindro, que no salga de dicha superficie, es un trozo de hélice).

[editar] Hélice cónica

Esta curva esta situada sobre un cono.

[editar] Expresión analítica

$x = t cos t,$

$y = t sin t,$

$z = a t,$

[editar] Hélice esférica

Se denomina hélice esférica a toda hélice contenida en una esfera. Por ser hélice se verificará $frac{kappa}{tau}=tan alpha ,$ (constante), o lo que es lo mismo $tau = kappa cot alpha ,$ .

Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo dicha esfera osculatriz la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces el radio de la esfera osculatriz es constante. Por tanto $frac{1}{kappa^{2}}+frac{kappa^{'2}}{kappa^{4}tau^{2}}=a^{2}$ (constante).

Como $tau = kappa cot alpha ,$ , será $frac{1}{kappa^{2}}+frac{kappa^{'2}}{kappa^{6}cot^{2}alpha}=a^{2}$

Haciendo el cambio $kappa=frac{1}{rho}$ , se obtiene:

$rho^{2}+rho^{2}rho^{'2}tan^{2}alpha=a^{2},$ , o lo que es lo mismo, $frac{rho drho}{sqrt{a^{2}-rho^{2}}}tanalpha=ds$

Integrando la igualdad anterior se obtiene: $-sqrt{a^{2}-rho^{2}}tanalpha=s+C$ . Se puede hacer C=0, tomando como origen de arcos, es decir s = 0, el punto en el que $kappa(s)=frac{1}{a}$ y por tanto $? = a$ . Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado $-sqrt{a^{2}-rho^{2}}tanalpha=s$ se obtiene $a^{2}-rho^{2}=s^{2}cot^{2}alpha,$ . Como $rho=frac{1}{kappa}$ será:

$a^{2}-frac{1}{kappa^{2}}=s^{2}cot^{2}alpha$

y como $kappa=tautanalpha,$ resulta $a^{2}-frac{cot^{2}alpha}{tau^{2}}= s^{2}cot^{2}alpha$ , y por tanto:

$s^{2}+frac{1}{tau^{2}}= a^{2}tan^{2}alpha$

Las ecuaciones obtenidas anteriormente determinan las ecuaciones intrínsecas de las hélices esféricas. Despejando $kappa^{2} y tau^{2},$ se obtiene:

$kappa^{2}=frac{1}{a^{2}-s^{2}cot^{2}alpha}$ $tau^{2}=frac{1}{a^{2}tan^{2}alpha-s^{2}}$

NOTA: En el caso general, sin hacer la particularización C=0, se obtiene como ecuaciones intrínsecas:

$kappa^{2}=frac{1}{a^{2}-left(s+Cright)^{2}cot^{2}alpha}$ $tau^{2}=frac{1}{a^{2}tan^{2}alpha-left(s+Cright)^{2}}$

[editar] Véase también

Coordenadas polares
ADN, conocido por su estructura de doble hélice.

[editar] Enlaces externos

¿Por qué es la hélice una forma tan popular en la Naturaleza?