Espacio conexo por caminos

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[editar] Definición

Sea $(X,mathcal{T})$ espacio topológico. Una curva en $X$ es una función $f:[0,1] longrightarrow X$ continua. (En realidad, puede ser cualquier intervalo, pero siempre se puede normalizar y llevar a $[0,1]$ .

Se dice que $(X,mathcal{T})$ es un espacio conexo por caminos si y solamente si: $forall x,y in X, exists f:[0,1] longrightarrow X$ continua (i.e., una curva) tal que

$f (0) = x, f (1) = y$ .

Es decir, en términos intuitivos, si cada par de puntos pueden ser unidos mediantes una curva, o, dicho de otro modo, “conectados por un camino” (y de ahí el nombre).

Para $C subset X$ , la definición de conexidad por caminos es la misma que antes, sólo que ahora pidiendo que cada par de puntos en $C$ puedan ser conectados por una curva continua. Esta definición es equivalente a pedir que $C$ , dotado de la topología traza, sea un espacio conexo por caminos.

[editar] Conexidad y Conexidad por Caminos

Se cumple que todo espacio conexo por caminos es también conexo, sin embargo, la conversa no es cierta, es decir, existen espacios conexos que no son conexos por caminos; y para encontrar un ejemplo no hay que buscar en ningún espacio demasiado extraño, pues en $mathbb{R}^2$ ya encontramos un ejemplo: la adherencia del gráfico de la función $s i n (1 / x)$ , es decir, el conjunto: $G={(x,y)in mathbb{R}^2: xin (0,1), y=sin(1/x)}cup {(x,y)in mathbb{R}^2: x=0, yin [-1,1]}$ Como el gráfico de la función por si solo es conexo, su adherencia también (esa propiedad siempre se cumple para conjuntos conexos). Sin embargo, es claro que nunca podremos conectar por un camino continua un punto del grafo con un punto del trozo del eje y tomado.