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En matemáticas, una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X y Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una categoría concreta, X y Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: X -> Y. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos.

[editar] Variantes y subclases de morfismos

• Todo objeto X en toda categoría tiene morfismo identidad id_X que actúa como identidad bajo la operación de composición.
• Si f: X -> Y y g: Y -> X satisface f o g  =  id_Y, entonces f es una retracción y g es una sección (matemática).
• Si f es tanto una retracción como una sección, entonces es un isomorfismo. En tal caso, los objetos X y Y deben pensarse como completamente equivalentes para la categoría C.
• Un morfismo f: X -> X es un endomorfismo de X.
• Un endomorfismo que es también un isomorfismo es un automorfismo.
• Supóngase que dados g: Y -> Z y h: Y -> Z y toda vez que g o f  =  h o f, se sigue que g  =  h. Entonces f es un epimorfismo. Toda retracción debe ser un epimorfismo. También es llamado epi.

Un epimorfismo con inverso lateral es llamado un epimorfismo “split”.

• Supóngase que dados g: W -> X y h: W -> X y toda vez que f o g  =  f o h, se sigue que g  =  h. Entonces f es un monomorfismo. Toda sección debe ser un monomorfismo. También es llamado mono.

Un monomorfismo con inverso lateral es llamado un monomorfismo “split”.

• Si f is tanto un epimorfismo como un monomorfismo, f es un bimorfismo. Nótese que ¡no todo bimorfismo es un isomorfismo! No obstante, todo morfismo que es tanto un epimorfismo como una sección, o mono y retracción, debe ser iso.

• Un homeomorfismo es simplemente un isomorfismo en la categoría de los espacios topológicos.
• Un difeomorfismo es simplemente un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables.

[editar] Ejemplos

Algunos ejemplos de morfismos son homomorfismos de las categorías estudiadas en álgebra universal (tales como los de grupos, anillos, etc), funciones continuas entre espacios topológicos, elementos de un monoide cuando es pensado como categoría, caminos en un espacio topológico (lo que engendra un grupoide), funtores entre categoría, y muchos otros.

[editar] Tipos

• Homomorfismo: Sea f:A?B ; si cumple f(?u+?v)=?f(u)+?f(v) para todo u, v pertenecientes a A, entonces f:A?B es una Aplicación Lineal, por tanto Homomorfismo.
• Monomorfismo: f:U?V la aplicación es inyectiva. Esto es ssi el Ker(f) es trivial = 0.
• Epimorfismo: f(B)={f(e1), f(e2),…,f(en)}, sistema generador de f, es epimorfismo si la aplicación es Sobreyectiva.
• Isomorfismo: f(B)= Base de V, función biyectiva. Es isomorfismo si la aplicación es un monomorfismo y epimorfismo.